آموزش کلیاتی از روش j-integral

j integral

اگر انرژی پتانسیل اتم‌ها از انرژی پیوندی موجود بین دو اتم مجاور تجاوز کند، ترک می‌تواند گسترش یابد.ایروین و همکاران [24] ‏مفهوم نرخ آزاد سازی انرژی را براساس نرخ تغییر در انرژی پتانسیل نسبت به ناحیه ترک به صورت زیر معرفی کردند:

پارامترهاي اساسی در مکانیک شکست سه مود اساسی در مکانیک شکست وجود دارد (شکل 2-7)

• مود اول که در آن ترك تحت کشش قرار می‌گیرد
• مود دوم یا برشی
• مود سوم که به آن مود برش خارج از صفحه یا پارگی میگویند.

در مسائل واقعی ترکیبی از سه مود بالا بر ترك اعمال می‌شود که در شکل (2-12) نیز نشان داده شده است.

شکل 1. مودهاي مختلف بارگذاري ترك

1-11-2- عوامل شدت استرس[1]

سه حالت اصلی تغییر شکل ترک را می‌توان به طور دقیق‌تر، با تنش‌های مربوط به جلوتر از جبهه‌ی ترک یا شکاف تعریف کرد، که ممکن است به عنوان نوک ترک در مسائل دو بعدی در نظر گرفته شود. در این حالت، و به ترتیب به عنوان ضرایب شدت تنش در حالت‌های ۱، ۲ و ۳ تعریف می‌شوند.

شکل 2.

میدان‌های تنش کل و جابجایی برای بارگذاری مود مرکب را می‌توان به صورت زیر به دست آورد:

در فرض رفتار الاستیک خطی[2]، میدان‌های تنش، کرنش و جابجایی با استفاده از مفهوم ضرایب شدت تنش[3] ‏در نزدیکی ناحیه نوک ترک تعیین می‌شوند. اساساً، الگوریتم‌های محاسباتی توسعه‌یافته برای ارزیابی فاکتورهای شدت تنش را می‌توان به دو گروه تقسیم کرد؛ نخست رویکر مستقیم و دیگری رویکرد انرژی نام دارد. رویکرد مستقیم، SIFs  را به طور مستقیم با نتایج FEM مرتبط می‌سازد، در حالی که رویکرد انرژی مبتنی بر محاسبه نرخ آزاد سازی انرژی می‌باشد. اساساً، روش‌های انرژی دقیق‌تر از روش‌های مستقیم هستند، با این حال روش‌های مستقیم محبوب‌تر و حالات آن‌ها ساده هستند.

روش همبستگی جابجایی[4]

میدان تنش در نوک ترک منفرد است و المان‌های محدود معمولی صرف‌نظر از اینکه چقدر دقیق هستند نمی‌توانند آن را نشان دهند. ضرایب شدت تنش را می‌توان در فواصل شعاعی مختلف از نوک ترک با مساوی کردن جابجایی‌های عددی به‌دست‌آمده با بیان تحلیلی آن‌ها از نظر (عوامل شدت استرس)SIF تعیین کرد [[i]].

شکل 3.

به منظور مدل‌سازی مناسب تکینگی تنش در نوک ترک با استفاده از روش همبستگی جابجایی، تکنیک عناصر منفرد نقطه یک چهارم فروریخته (CQPE) ‏می‌تواند به طور قابل‌توجهی به کار گرفته شود که راه حل FE را در نزدیکی نوک ترک بهبود می‌بخشد و منجر به محاسبات دقیق‌تر SIF عوامل شدت استرس می‌شود.

عناصر منفرد نقطه یک چهارم[5]

به منظور تقریب زدن رفتار تنش‌ها و جابجایی‌ها در نزدیکی نوک ترک، یک المان هشت نوده ی خاص، مشابه آلمان هشت نوده isoperimetric معمول در نظر گرفته می‌شود، با این تفاوت که گره‌های میانی روی لبه‌ها به نوک ترک با یک چهارم طول لبه به سمت نوک ترک حرکت می‌کنند.

شکل 4.

میدان کرنش را در این حالت می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

میزان انتشار انرژی[6]

نرخ آزاد سازی انرژی، انرژی اتلاف شده توسط شکستگی در واحد سطح است. تعدادی از تکنیک‌ها برای محاسبه آزاد سازی انرژی معرفی شده‌اند. تکنیک انتگرال بستن ترک مبتنی بر آزاد سازی انرژی است که با استفاده از نیروهای گرهی و جابجایی‌ها در نوک ترک محاسبه می‌شود. آزاد سازی انرژی برای شرایط حالت ترکیبی به صورت زیر تعریف می‌شود:

انتشار انرژی برای شرایط مود ترکیبی با استفاده از CQPE به صورت زیر تعریف می‌شود [[ii]].

روش‌های انتگرال مرزی و انتگرال دامنه، راحت‌ترین و دقیق‌ترین تکنیک‌هایی هستند که برای محاسبه عوامل شدت تنش در شرایط حالت مختلط بر اساس انتگرال‌های انرژی برهمکنش پیشنهاد شده‌اند. اشلبی (1974) [[iii]] تعدادی انتگرال کانتور را بر اساس قضیه بقای انرژی معرفی کرد که مستقل از مسیر بودند. تکنیک انتگرال J برای محاسبه نرخ آزادسازی انرژی یا کار (انرژی) در واحد سطح شکست، در مسائل ترک با استفاده از یک سیستم مختصات محلی نوک ترک  تعریف می‌شود. طبق تحقیقات پیشین، نشان داده شده است که یک انتگرال مسیر کانتور پرانرژی که به آن J – integral می گویند، مستقل از مسیر اطراف یک ترک است. کانتور J – انتگرال مستقل از مسیر است و هیچ نیروی سطحی و کشش روی سطوح ترک وجود ندارد. این بر اساس تغییر شکل کوچک، رفتار مواد الاستیک، و شرایط ایزوترمال شبه استاتیکی است. با در نظر داشتن دو حالت یک المان ترک خورده داریم:

انرژی کرنش متقابل[7]:

رایس [16] نرخ آزادسازی انرژی را برای مسائل ترک مود مخلوط دو بعدی بر اساس عوامل شدت تنش حالت‌های I و II به صورت  و تعریف کرد.

کانتور J – integral را می‌توان مستقیماً در امتداد یک خط مش المان محدود ارزیابی کرد. این کانتور معمولاً با عبور از نقاط ادغام عنصر گاوس قابل ارزیابی است، جایی که تنش‌ها با دقت بیشتری محاسبه می‌شوند.

شکل 5.

در اجرای عملی، تکنیک انتگرال J-contour فوق به ندرت استقلال مسیر را نشان می‌دهد و نتیجه وابسته به مش می‌شود. لی و همکاران (1985) [[iv]] محاسبه J – integral را با تبدیل انتگرال کانتور به یک انتگرال مساحت معادل انجام داد.

در اینجا q یک تابع وزنی است که بر روی دامنه انتگرال گیری تعریف شده است. در تکنیک area J – integral technique، محدوده‌ی انتگرال گیری باید به گونه‌ای انتخاب شود که اولاً برای الگوهای ترک پیچیده به اندازه‌ی کافی به نوک ترک نزدیک باشد، ثانیاً پیاده سازی آن در یک روش شبیه سازی کاملاً خودکار، باید ساده باشد. تابع q در نوک ترک یکه می‌باشد و در یک کانتور تعیین شده بیرونی ناپدید می‌شود.

شکل 6.

انتگرالگیری یا محاسبه‌ی برهمکنش جدید بر اساس تکنیک area J – integral  به صورت زیرتعریف شده است:

 طرح کلی توابع عددی[8]

اساساً دو تکنیک برای انتگرال گیری عددی ناپیوستگی پیشنهاد شده است. روش اول بر اساس تقسیمات فرعی مستطیلی است که در آن ترک با لبه‌های مستطیلی منطبق نیست که باعث تقریب در شبیه سازی عددی می‌شود. با این حال، با افزایش تعداد زیر بخش‌ها می‌توان به یک نتیجه معقول دست یافت. در تکنیک دوم، ناپیوستگی به مثلث‌های فرعی تقسیم می‌شود که منجر به نتایج دقیق‌تری نسبت به روش قبلی می‌شود. لازم به ذکر است که به دلیل تکینکی المان نوک ترک، تقسیمات فرعی مثلثی بیشتری در عنصر نوک ضروری است.

شکل 7.

– انتگرال گیری عددی از کانتور J –integral

به منظور ارزیابی عوامل شدت تنش، مساحت J–integral با فرض یک دایره مجازی با شعاع مشخص در اطراف نوک ترک درنظر گرفته می‌شود و انتگرال گیری سطح بر روی المان متقاطع شده با این دایره انجام می‌شود. معادله X-FEM بر اساس میدان جابجایی بهسازی شده حل می‌شود تا میدان‌های جابجایی، کرنش و تنش حالت (1) به صورت  به دست آید. سپس این مقادیر با استفاده از یک تبدیل مناسب از سیستم مختصات کلی نوک ترک به سیستم مختصات محلی انتقال می‌یابد. توزیع تابع وزن در یک عنصر با استفاده از درون یابی استاندارد FE به دست می‌آید:

[1] Stress intensity factors

[2] LEFM

[3] SIF

[4] Displacement correlation method

[5] Quarter point singular elements

[6] Energy release rate

[7] Interaction strain energy:

[8] Numerical integration scheme

[i] A.R. Khoei, Extended Finite Element Method, Theory and Applications, John Wiley, 2015.

[ii] Newman Jr JC, Raju IS, “An empirical stress-intensity factor equation for the surface crack”, Engineering Fracture Mechanics, (1981), Vol. 15, No. 1-2, 185-192

[iii] Eshelby JD. The Calculation of energy release rates. In: Sih GC, Van Elst HC, Broek D. (eds), Prospects of Fracture
Mechanics, Noordhoff International. 1974; 69–84.

[iv] Li FZ, Shih CF, Needleman A. A comparison of methods for calculating energy release rates. Engineering Fracture
Mechanics 1985; 21: 405–421

مطالعه بیشتر